Упр.27.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 27.33. Найдите четыре числа, из которых первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, причём сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних равна 12.

Пусть искомые числа — $$a_1, a_2, a_3, a_4.$$

Так как последние три числа образуют арифметическую прогрессию, то

$$a_3=\frac{a_2+a_4}{2}.$$

По условию сумма средних чисел равна 12:

$$a_2+a_3=12.$$

Подставим сюда выражение для $$a_3$$:

$$a_2+\frac{a_2+a_4}{2}=12,$$

$$2a_2+a_2+a_4=24,$$

$$3a_2+a_4=24,$$

$$a_4=24-3a_2.$$

Тогда

$$a_3=\frac{a_2+a_4}{2}=\frac{a_2+24-3a_2}{2}=12-a_2.$$

По условию сумма крайних чисел равна 14:

$$a_1+a_4=14,$$

$$a_1+24-3a_2=14,$$

$$a_1=3a_2-10.$$

Теперь используем условие геометрической прогрессии для первых трёх чисел:

$$a_2^2=a_1a_3.$$

Подставим найденные выражения:

$$a_2^2=(3a_2-10)(12-a_2),$$

$$a_2^2=36a_2-3a_2^2-120+10a_2,$$

$$4a_2^2-46a_2+120=0,$$

$$2a_2^2-23a_2+60=0.$$

Найдём корни:

$$D=23^2-4\cdot 2\cdot 60=529-480=49,$$

$$a_2=\frac{23\pm 7}{4}.$$

Отсюда

$$a_2=4 \quad \text{или} \quad a_2=\frac{15}{2}.$$

1) Если $$a_2=4,$$ то

$$a_1=3\cdot 4-10=2,\quad a_3=12-4=8,\quad a_4=24-3\cdot 4=12.$$

Получаем числа $$2,\,4,\,8,\,12.$$

2) Если $$a_2=\frac{15}{2},$$ то

$$a_1=3\cdot \frac{15}{2}-10=\frac{25}{2},\quad a_3=12-\frac{15}{2}=\frac{9}{2},\quad a_4=24-3\cdot \frac{15}{2}=\frac{3}{2}.$$

Получаем числа $$\frac{25}{2},\,\frac{15}{2},\,\frac{9}{2},\,\frac{3}{2}.$$

Ответ

$$2,\,4,\,8,\,12$$ или $$\frac{25}{2},\,\frac{15}{2},\,\frac{9}{2},\,\frac{3}{2}.$$