Упр.27.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 27.32. Найдите три числа, образующие геометрическую прогрессию, если известно, что сумма их равна 26, а сумма квадратов этих чисел равна 364.

Пусть три числа геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_2,\; b_3,$$ где $$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

Тогда по условию

$$b_1+b_2+b_3=26,$$

$$b_1^2+b_2^2+b_3^2=364.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1(1+q+q^2)=26,$$

$$b_1^2(1+q^2+q^4)=364.$$

Из первого уравнения

$$b_1=\frac{26}{1+q+q^2}.$$

Подставим во второе:

$$\left(\frac{26}{1+q+q^2}\right)^2(1+q^2+q^4)=364.$$

После преобразований получаем:

$$3q^2-10q+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

$$q_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2\cdot 3}.$$

Отсюда

$$q_1=\frac13,\quad q_2=3.$$

1) Если $$q=\frac13,$$ то

$$b_1=\frac{26}{1+\frac13+\frac19}=\frac{26}{\frac{13}{9}}=18,$$

$$b_2=18\cdot \frac13=6,\quad b_3=6\cdot \frac13=2.$$

2) Если $$q=3,$$ то

$$b_1=\frac{26}{1+3+9}=\frac{26}{13}=2,$$

$$b_2=2\cdot 3=6,\quad b_3=6\cdot 3=18.$$

Ответ

$$2,\;6,\;18$$ или $$18,\;6,\;2.$$