Упр.27.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 27.31. Сумма трех чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 26. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, равны $$b_1,\; b_2,\; b_3.$$ Тогда

$$b_1+b_2+b_3=26.$$

После прибавления указанных чисел получаем арифметическую прогрессию:

$$b_1+1,\; b_2+6,\; b_3+3.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних:

$$2(b_2+6)=(b_1+1)+(b_3+3).$$

Отсюда

$$2b_2+12=b_1+b_3+4.$$

Так как $$b_1+b_2+b_3=26,$$ то $$b_1+b_3=26-b_2.$$ Подставим:

$$2b_2+12=26-b_2+4,$$

$$3b_2=18,$$

$$b_2=6.$$

Тогда

$$b_1+b_3=26-6=20.$$

Так как числа образуют геометрическую прогрессию, то

$$b_2^2=b_1b_3,$$

то есть

$$b_1b_3=36.$$

Решим систему

$$ \begin{cases} b_1+b_3=20,\\ b_1b_3=36. \end{cases} $$

Тогда числа $$b_1$$ и $$b_3$$ — корни уравнения

$$x^2-20x+36=0.$$

$$D=20^2-4\cdot 36=400-144=256,$$

$$x=\frac{20\pm 16}{2}.$$

Получаем

$$x_1=2,\quad x_2=18.$$

Следовательно, исходные числа: $$2,\;6,\;18$$ или $$18,\;6,\;2.$$

Ответ

$$2,\;6,\;18$$ или $$18,\;6,\;2$$