Упр.27.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 27.30. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 65. Если из первого из этих чисел вычесть 1, второе оставить без изменений, а из третьего вычесть 19, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Пусть три числа геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_2,\; b_3.$$ Тогда

$$b_1+b_2+b_3=65.$$

По условию после изменений числа $$b_1-1,\; b_2,\; b_3-19$$ образуют арифметическую прогрессию. Значит, средний член равен полусумме крайних:

$$2b_2=(b_1-1)+(b_3-19).$$

С учётом $$b_1+b_2+b_3=65$$ получаем

$$2b_2=65-b_2-20,$$

$$3b_2=45,$$

$$b_2=15.$$

Тогда

$$b_1+b_3=65-15=50.$$

Так как числа образуют геометрическую прогрессию, то

$$b_2^2=b_1b_3,$$

то есть

$$b_1b_3=225.$$

Итак, нужно найти числа $$b_1$$ и $$b_3$$ из системы

$$ \begin{cases} b_1+b_3=50,\\ b_1b_3=225. \end{cases} $$

Пусть это корни уравнения $$x^2-50x+225=0.$$ Тогда

$$D=50^2-4\cdot225=2500-900=1600,$$

$$x=\frac{50\pm40}{2}.$$

Получаем

$$x_1=5,\qquad x_2=45.$$

Следовательно, исходные числа: $$5,\;15,\;45$$ или $$45,\;15,\;5.$$

Ответ

$$5,\;15,\;45$$ или $$45,\;15,\;5$$