Упр.27.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 27.29. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4, а третье оставить без изменений, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $$10-d,\ 10,\ 10+d.$$

Так как их сумма равна $$30,$$ то средний член прогрессии:

$$\frac{10-d+10+10+d}{3}=10.$$

После преобразования получаем геометрическую прогрессию:

$$10-d-5=5-d,\quad 10-4=6,\quad 10+d.$$

Для трёх последовательных членов геометрической прогрессии выполняется условие:

$$6^2=(5-d)(10+d).$$

Тогда

$$36=50+5d-10d-d^2,$$

$$d^2+5d-14=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,$$

$$d=\frac{-5\pm 9}{2}.$$

Отсюда

$$d_1=2,\quad d_2=-7.$$

Если $$d=2,$$ то исходные числа:

$$8,\ 10,\ 12.$$

Если $$d=-7,$$ то исходные числа:

$$17,\ 10,\ 3.$$

Ответ

$$17,\ 10,\ 3$$ или $$8,\ 10,\ 12.$$