Упр.27.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 27.25. При каком значении x значения выражений 2x+1, x+5 и x+11 являются последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии:

$$b_1=2x+1,\quad b_2=x+5,\quad b_3=x+11.$$

Для геометрической прогрессии выполняется условие:

$$b_2^2=b_1b_3.$$

Тогда

$$ (x+5)^2=(2x+1)(x+11) $$

$$ x^2+10x+25=2x^2+23x+11 $$

$$ x^2+13x-14=0 $$

Найдём корни уравнения:

$$ D=13^2-4\cdot 1\cdot(-14)=169+56=225 $$

$$ x=\frac{-13\pm 15}{2} $$

$$ x_1=-14,\quad x_2=1 $$

Проверим оба значения.

При $$x=-14$$:

$$ 2x+1=-27,\quad x+5=-9,\quad x+11=-3 $$

При $$x=1$$:

$$ 2x+1=3,\quad x+5=6,\quad x+11=12 $$

Оба набора чисел образуют геометрическую прогрессию.

Ответ

$$x=-14$$ или $$x=1$$; члены прогрессии: $$-27,-9,-3$$ или $$3,6,12$$.