Упр.27.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

При каком значении $$x$$ значения выражений $$2x+1$$, $$x+5$$ и $$x+11$$ являются последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии:

$$b_1=2x+1,\quad b_2=x+5,\quad b_3=x+11.$$

Для геометрической прогрессии выполняется условие:

$$b_2^2=b_1b_3.$$

Тогда

$$(x+5)^2=(2x+1)(x+11)$$

$$x^2+10x+25=2x^2+23x+11$$

$$x^2+13x-14=0$$

Найдём корни уравнения:

$$D=13^2-4\cdot 1\cdot(-14)=169+56=225$$

$$x=\frac{-13\pm 15}{2}$$

$$x_1=-14,\quad x_2=1$$

Проверим оба значения.

При $$x=-14$$:

$$2x+1=-27,\quad x+5=-9,\quad x+11=-3$$

При $$x=1$$:

$$2x+1=3,\quad x+5=6,\quad x+11=12$$

Оба набора чисел образуют геометрическую прогрессию.

Ответ

$$x=-14$$ или $$x=1$$; члены прогрессии: $$-27,-9,-3$$ или $$3,6,12$$.