Упр.27.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) b_1, b_3, …, b_(2n-1); 3) b_1+b_2, b_2+b_3, …, b_(n-1)+b_n;
2) 2b_1, 2b_2, …, 2b_n; 4) 1/b_1, 1/b_2, …, 1/b_n?
В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

1. Рассмотрим последовательность $$b_1,\ b_3,\ \ldots,\ b_{2n-1}.$$

   Так как $$b_k=b_1q^{k-1},$$ то

   $$ b_{2n-1}=b_1q^{2n-2}, \qquad b_{2n-3}=b_1q^{2n-4}. $$

   Знаменатель новой последовательности:

   $$ q_c=\frac{b_{2n-1}}{b_{2n-3}}=\frac{b_1q^{2n-2}}{b_1q^{2n-4}}=q^2. $$

   Да, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2.$$

2. Рассмотрим последовательность $$2b_1,\ 2b_2,\ \ldots,\ 2b_n.$$

   $$ \frac{2b_{k+1}}{2b_k}=\frac{b_{k+1}}{b_k}=q. $$

   Да, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q.$$

3. Рассмотрим последовательность $$b_1+b_2,\ b_2+b_3,\ \ldots,\ b_{n-1}+b_n.$$

   Так как $$b_k=b_1q^{k-1},$$ то

   $$ b_{n-1}+b_n=b_1q^{n-2}+b_1q^{n-1}=b_1q^{n-1}(q^{-1}+1), $$

   $$ b_{n-2}+b_{n-1}=b_1q^{n-3}+b_1q^{n-2}=b_1q^{n-2}(q^{-1}+1). $$

   Тогда

   $$ q_c=\frac{b_{n-1}+b_n}{b_{n-2}+b_{n-1}} =\frac{b_1q^{n-1}(q^{-1}+1)}{b_1q^{n-2}(q^{-1}+1)}=q. $$

   Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q,$$ при $$q\ne -1.$$

4. Рассмотрим последовательность $$\frac1{b_1},\ \frac1{b_2},\ \ldots,\ \frac1{b_n}.$$

   $$ \frac{1/b_{k+1}}{1/b_k}=\frac{b_k}{b_{k+1}}=\frac1q. $$

   Да, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$\frac1q.$$

Ответ

1) да, $$q^2$$; 2) да, $$q$$; 3) да, $$q$$, при $$q\ne -1$$; 4) да, $$\frac1q$$.