Упр.27.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Последовательность $$\left(b_n\right)$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1. $$b_1,\ b_3,\ \ldots,\ b_{2n-1}$$;
2. $$b_1+b_2,\ b_2+b_3,\ \ldots,\ b_{n-1}+b_n$$;
3. $$2b_1,\ 2b_2,\ \ldots,\ 2b_n$$;
4. $$\frac{1}{b_1},\ \frac{1}{b_2},\ \ldots,\ \frac{1}{b_n}$$?

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

1. Рассмотрим последовательность $$b_1,\ b_3,\ \ldots,\ b_{2n-1}.$$

   Так как $$b_k=b_1q^{k-1},$$ то

   $$b_{2n-1}=b_1q^{2n-2}, \qquad b_{2n-3}=b_1q^{2n-4}.$$

   Знаменатель новой последовательности:

   $$q_c=\frac{b_{2n-1}}{b_{2n-3}}=\frac{b_1q^{2n-2}}{b_1q^{2n-4}}=q^2.$$

   Да, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2.$$

2. Рассмотрим последовательность $$2b_1,\ 2b_2,\ \ldots,\ 2b_n.$$

   $$\frac{2b_{k+1}}{2b_k}=\frac{b_{k+1}}{b_k}=q.$$

   Да, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q.$$

3. Рассмотрим последовательность $$b_1+b_2,\ b_2+b_3,\ \ldots,\ b_{n-1}+b_n.$$

   Так как $$b_k=b_1q^{k-1},$$ то

   $$b_{n-1}+b_n=b_1q^{n-2}+b_1q^{n-1}=b_1q^{n-1}(q^{-1}+1),$$

   $$b_{n-2}+b_{n-1}=b_1q^{n-3}+b_1q^{n-2}=b_1q^{n-2}(q^{-1}+1).$$

   Тогда

   $$q_c=\frac{b_{n-1}+b_n}{b_{n-2}+b_{n-1}} =\frac{b_1q^{n-1}(q^{-1}+1)}{b_1q^{n-2}(q^{-1}+1)}=q.$$

   Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q,$$ при $$q\ne -1.$$

4. Рассмотрим последовательность $$\frac1{b_1},\ \frac1{b_2},\ \ldots,\ \frac1{b_n}.$$

   $$\frac{1/b_{k+1}}{1/b_k}=\frac{b_k}{b_{k+1}}=\frac1q.$$

   Да, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$\frac1q.$$

Ответ

1) да, $$q^2$$; 2) да, $$q$$; 3) да, $$q$$, при $$q\ne -1$$; 4) да, $$\frac1q$$.