Упр.27.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 27.20. В правильный треугольник со стороной a последовательно вписаны треугольники так, что вершины каждого следующего треугольника являются серединами сторон предыдущего (рис. 27.1). Докажите, что периметры этих треугольников образуют геометрическую прогрессию, и запишите формулу n-го члена этой прогрессии.

Пусть сторона первого треугольника равна $$a$$. Тогда его периметр

$$p_1=3a.$$

Так как вершины каждого следующего треугольника являются серединами сторон предыдущего, то сторона каждого нового треугольника в 2 раза меньше стороны предыдущего. Значит,

$$p_2=3\cdot \frac a2=\frac{3a}{2}, \qquad p_3=3\cdot \frac a4=\frac{3a}{4}, \dots$$

Следовательно, периметры образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

$$q=\frac{p_2}{p_1}=\frac{3a/2}{3a}=\frac12.$$

Тогда формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

$$p_n=p_1q^{\,n-1}=3a\left(\frac12\right)^{n-1}.$$

Ответ

Периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию с знаменателем $$q=\frac12$$, а её n-й член равен $$p_n=3a\left(\frac12\right)^{n-1}$$.