Упр.27.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Дана конечная геометрическая прогрессия $$b_1, b_2, \ldots, b_n$$. Докажите, что $$b_k\cdot b_{n-k+1}=b_1\cdot b_n,\quad k?n$$.

Пусть $$b_1, b_2, \ldots, b_n$$ — конечная геометрическая прогрессия с знаменателем $$q$$. Тогда

$$b_k=b_1q^{k-1}, \qquad b_{n-k+1}=b_1q^{n-k}.$$

Перемножим эти члены:

$$b_k\cdot b_{n-k+1}=(b_1q^{k-1})(b_1q^{n-k})=b_1^2q^{(k-1)+(n-k)}=b_1^2q^{n-1}.$$

С другой стороны,

$$b_1\cdot b_n=b_1\cdot (b_1q^{n-1})=b_1^2q^{n-1}.$$

Следовательно,

$$b_k\cdot b_{n-k+1}=b_1\cdot b_n.$$

Ответ

$$b_k\cdot b_{n-k+1}=b_1\cdot b_n.$$