Упр.26.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму тридцати трёх первых членов арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_3+a_5+a_{13}=33$$ и $$a_{15}-a_8\_a_{10}=-1$$.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Из условия имеем:

$$a_3+a_5+a_{13}=33,$$

$$a_{15}-a_8-a_{10}=-1.$$

Запишем члены прогрессии через $$a_1$$ и $$d$$:

$$a_3=a_1+2d,\quad a_5=a_1+4d,\quad a_{13}=a_1+12d,$$

$$a_{15}=a_1+14d,\quad a_8=a_1+7d,\quad a_{10}=a_1+9d.$$

Тогда из второго уравнения:

$$(a_1+14d)-(a_1+7d)-(a_1+9d)=-1$$

$$a_1-2d=1.$$

Из первого уравнения:

$$(a_1+2d)+(a_1+4d)+(a_1+12d)=33$$

$$3a_1+18d=33.$$

Подставим $$a_1=1+2d$$:

$$3(1+2d)+18d=33$$

$$3+24d=33$$

$$24d=30,\quad d=\frac{5}{4}.$$

Тогда

$$a_1=1+2\cdot \frac{5}{4}=\frac{7}{2}.$$

Найдём сумму первых 33 членов:

$$S_{33}=\frac{33}{2}\bigl(2a_1+32d\bigr).$$

Подставим значения:

$$S_{33}=\frac{33}{2}\left(2\cdot \frac{7}{2}+32\cdot \frac{5}{4}\right) =\frac{33}{2}(7+40) =\frac{33}{2}\cdot 47 =\frac{1551}{2}.$$

Ответ

$$\frac{1551}{2}$$