Упр.26.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 26.7. Найдите сумму тридцати трёх первых членов арифметической прогрессии (a_n), если a_3+a_5+a_13=33 и a_15-a_8_a_10=-1.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Из условия имеем:

$$a_3+a_5+a_{13}=33,$$

$$a_{15}-a_8-a_{10}=-1.$$

Запишем члены прогрессии через $$a_1$$ и $$d$$:

$$a_3=a_1+2d,\quad a_5=a_1+4d,\quad a_{13}=a_1+12d,$$

$$a_{15}=a_1+14d,\quad a_8=a_1+7d,\quad a_{10}=a_1+9d.$$

Тогда из второго уравнения:

$$ (a_1+14d)-(a_1+7d)-(a_1+9d)=-1 $$

$$ a_1-2d=1. $$

Из первого уравнения:

$$ (a_1+2d)+(a_1+4d)+(a_1+12d)=33 $$

$$ 3a_1+18d=33. $$

Подставим $$a_1=1+2d$$:

$$ 3(1+2d)+18d=33 $$

$$ 3+24d=33 $$

$$ 24d=30,\quad d=\frac{5}{4}. $$

Тогда

$$ a_1=1+2\cdot \frac{5}{4}=\frac{7}{2}. $$

Найдём сумму первых 33 членов:

$$ S_{33}=\frac{33}{2}\bigl(2a_1+32d\bigr). $$

Подставим значения:

$$ S_{33}=\frac{33}{2}\left(2\cdot \frac{7}{2}+32\cdot \frac{5}{4}\right) =\frac{33}{2}(7+40) =\frac{33}{2}\cdot 47 =\frac{1551}{2}. $$

Ответ

$$\frac{1551}{2}$$