Упр.26.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_6+a_8-a_{14}=-17$$ и $$a_5+a_{22}=101$$.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность.

Тогда

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Из условия:

$$a_6+a_8-a_{14}=-17,$$

то есть

$$\bigl(a_1+5d\bigr)+\bigl(a_1+7d\bigr)-\bigl(a_1+13d\bigr)=-17.$$

Упростим:

$$a_1-d=-17,$$

откуда

$$a_1=d-17.$$

Теперь используем второе условие:

$$a_5+a_{22}=101,$$

то есть

$$\bigl(a_1+4d\bigr)+\bigl(a_1+21d\bigr)=101.$$

Получаем:

$$2a_1+25d=101.$$

Подставим $$a_1=d-17$$:

$$2(d-17)+25d=101,$$

$$2d-34+25d=101,$$

$$27d=135,$$

$$d=5.$$

Тогда

$$a_1=5-17=-12.$$

Найдём сумму первых двадцати членов:

$$S_{20}=\frac{20}{2}\bigl(2a_1+19d\bigr).$$

Подставим значения:

$$S_{20}=10\bigl(2\cdot(-12)+19\cdot5\bigr)=10(-24+95)=10\cdot71=710.$$

Ответ

$$710$$