Упр.26.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите решения неравенства $$(a^2-1)x?a-1$$ в зависимости от значения параметра $$a$$.

Преобразуем неравенство:

$$(a^2-1)x \le a-1$$

$$(a-1)(a+1)x-(a-1)\le 0$$

$$(a-1)\bigl((a+1)x-1\bigr)\le 0$$

Рассмотрим случаи в зависимости от значения параметра $$a$$.

1. Если $$a=-1,$$ то

   $$0\cdot x-(-2)\le 0$$

   получаем противоречие, значит решений нет.

2. Если $$a=1,$$ то

   $$0\cdot\bigl((1+1)x-1\bigr)\le 0$$

   неравенство верно при любом $$x,$$ значит $$x\in \mathbb{R}.$$

3. Если $$a<-1,$$ то $$a-1<0$$ и $$a+1<0.$$ Делим неравенство на отрицательное число $$a-1$$, меняя знак неравенства:

   $$(a+1)x-1\ge 0$$

   $$(a+1)x\ge 1$$

   Так как $$a+1<0,$$ делим на отрицательное число $$a+1$$ и снова меняем знак:

   $$x\le \frac{1}{a+1}$$

4. Если $$-1<a<1,$$ то $$a-1<0,$$ а $$a+1>0.$$ Делим на отрицательное число $$a-1$$:

   $$(a+1)x-1\ge 0$$

   $$(a+1)x\ge 1$$

   Теперь делим на положительное число $$a+1$$:

   $$x\ge \frac{1}{a+1}$$

5. Если $$a>1,$$ то $$a-1>0$$ и $$a+1>0.$$ Делим на положительное число $$a-1$$:

   $$(a+1)x-1\le 0$$

   $$(a+1)x\le 1$$

   Делим на положительное число $$a+1$$:

   $$x\le \frac{1}{a+1}$$

Ответ

Если $$a=-1,$$ решений нет; если $$a=1,$$ то $$x\in\mathbb{R};$$ если $$a<-1$$ или $$a>1,$$ то $$x\le \frac{1}{a+1};$$ если $$-1<a<1,$$ то $$x\ge \frac{1}{a+1}.$$