Упр.26.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Известно, что целое число $$n$$ не кратно $$3$$. Докажите, что значение выражения $$n^2+8$$ кратно $$3$$.

Так как целое число $$n$$ не кратно $$3$$, то при делении на $$3$$ возможны только два случая:

$$n=3k+1 \quad \text{или} \quad n=3k+2,$$

где $$k \in \mathbb{Z}$$.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$n=3k+1$$, то

$$n^2+8=(3k+1)^2+8=9k^2+6k+1+8=9k^2+6k+9=3(3k^2+2k+3).$$

Значит, $$n^2+8$$ кратно $$3$$.

2) Если $$n=3k+2$$, то

$$n^2+8=(3k+2)^2+8=9k^2+12k+4+8=9k^2+12k+12=3(3k^2+4k+4).$$

Значит, и в этом случае $$n^2+8$$ кратно $$3$$.

Следовательно, при любом целом $$n$$, не кратном $$3$$, выражение $$n^2+8$$ кратно $$3$$.

Ответ

$$n^2+8$$ кратно $$3$$.