Упр.26.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 26.43. В баскетбольном турнире, проходившем в один круг, участвовали n команд. После окончания турнира оказалось, что очки, набранные командами, образуют нестационарную арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место, если за победу в каждой встрече команда получала 2 очка, за поражение очки не начислялись, а игр, сыгранных вничью, в баскетболе нет?

Подробный ответ

Пусть очки команд образуют нестационарную арифметическую прогрессию:

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\qquad d>0.$$

В турнире в один круг каждая команда сыграла с каждой другой по одному разу, значит общее число игр равно

$$N=\frac{n(n-1)}{2}.$$

За каждую игру в сумме разыгрывается 2 очка, поэтому сумма очков всех команд равна

$$S_n=2N=n(n-1).$$

С другой стороны, сумма членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Приравниваем:

$$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=n(n-1).$$

Сократим на $$n$$:

$$2a_1+d(n-1)=2(n-1).$$

Тогда

$$2a_1=(2-d)(n-1).$$

Так как очки не могут быть отрицательными, а прогрессия нестационарная, то $$d>0$$. Чтобы равенство выполнялось при целых неотрицательных очках и разности, возможен только случай

$$d=2.$$

Тогда

$$2a_1=(2-2)(n-1)=0,$$

откуда

$$a_1=0.$$

Значит, команда, занявшая последнее место, набрала 0 очков.