Упр.26.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 26.42. В конечной арифметической прогрессии нечётное количество членов. Сумма членов, стоящих на местах с чётными номерами, равна сумме членов, стоящих на местах с нечётными номерами. Найдите сумму всех членов этой прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ \ldots,\ a_{2n+1}$$

Так как число членов нечётное, то членов с нечётными номерами на один больше, чем членов с чётными номерами.

Сумма членов с нечётными номерами:

$$S_{\text{неч}}=(n+1)(a_1+dn)$$

Сумма членов с чётными номерами:

$$S_{\text{чет}}=n(a_1+dn)$$

По условию задачи

$$S_{\text{неч}}=S_{\text{чет}}$$

Тогда

$$ (n+1)(a_1+dn)=n(a_1+dn) $$

$$ a_1+dn=0 $$

Найдём сумму всех членов прогрессии:

$$S_{2n+1}=\frac{a_1+a_{2n+1}}{2}\cdot(2n+1)$$

Так как

$$a_{2n+1}=a_1+2nd,$$

то

$$S_{2n+1}=\frac{2a_1+2nd}{2}\cdot(2n+1)=(a_1+dn)(2n+1)=0.$$

Ответ

$$0$$