Упр.26.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.41. В арифметической прогрессии S_n=m, S_m=n, m?n. Найдите S_(m+n).

Для арифметической прогрессии

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr), \qquad S_m=\frac{m}{2}\bigl(2a_1+d(m-1)\bigr).$$

По условию $$S_n=m,$$ $$S_m=n,$$ где $$m\ne n.$$ Тогда

$$S_n-S_m=m-n.$$

Подставим формулы сумм:

$$\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)-\frac{m}{2}\bigl(2a_1+d(m-1)\bigr)=m-n.$$

Умножим на $$2$$:

$$2a_1(n-m)+d\bigl(n(n-1)-m(m-1)\bigr)=2(m-n).$$

Преобразуем разность:

$$n(n-1)-m(m-1)=(n-m)(n+m-1).$$

Тогда

$$2a_1(n-m)+d(n-m)(n+m-1)=2(m-n).$$

Вынесем $$n-m$$:

$$ (n-m)\bigl(2a_1+d(n+m-1)\bigr)=2(m-n).$$

Так как $$m-n=-(n-m),$$ получаем

$$2a_1+d(n+m-1)=-2.$$

Теперь найдём сумму первых $$m+n$$ членов:

$$S_{m+n}=\frac{m+n}{2}\bigl(2a_1+d(m+n-1)\bigr).$$

Подставим найденное значение:

$$S_{m+n}=\frac{m+n}{2}\cdot(-2)=-(m+n).$$

Ответ

$$-(m+n)$$