Упр.26.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 26.40. В арифметической прогрессии S_m=S_n, m?n. Найдите S_(m+n).

Для арифметической прогрессии сумма первых $$k$$ членов равна

$$S_k=\frac{k}{2}\bigl(2a_1+d(k-1)\bigr).$$

По условию $$S_m=S_n$$, где $$m\ne n$$. Тогда

$$\frac{m}{2}\bigl(2a_1+d(m-1)\bigr)=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

Умножим на $$2$$ и преобразуем:

$$m\bigl(2a_1+d(m-1)\bigr)=n\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr),$$

$$2a_1(m-n)=d\bigl(n(n-1)-m(m-1)\bigr).$$

Раскроем скобки:

$$2a_1(m-n)=d(n-m)(n+m-1).$$

Так как $$m\ne n$$, то $$m-n\ne 0$$, значит, можно сократить на $$m-n$$:

$$2a_1=-d(m+n-1).$$

Теперь найдём сумму первых $$m+n$$ членов:

$$S_{m+n}=\frac{m+n}{2}\bigl(2a_1+d(m+n-1)\bigr).$$

Подставим найденное значение $$2a_1$$:

$$S_{m+n}=\frac{m+n}{2}\bigl(-d(m+n-1)+d(m+n-1)\bigr)=0.$$

Ответ

$$0$$