Упр.26.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 26.38. (Задача Гипсикла Александрийского.) Докажите, что в арифметической прогрессии с чётным количеством членов, состоящей из целых чисел, сумма второй половины больше суммы первой половины на число, кратное квадрату половины количества членов.

Пусть дана арифметическая прогрессия из $$2n$$ целых чисел:

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_{2n}.$$

Сумма первых $$n$$ членов равна

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Сумма всех $$2n$$ членов:

$$S_{2n}=\frac{2a_1+d(2n-1)}{2}\cdot 2n=n\bigl(2a_1+d(2n-1)\bigr).$$

Тогда сумма второй половины членов равна

$$S_{2n}-S_n.$$

Найдём разность сумм второй и первой половин:

$$ \begin{aligned} D&=(S_{2n}-S_n)-S_n \\ &=S_{2n}-2S_n \\ &=n\bigl(2a_1+d(2n-1)\bigr)-n\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr) \\ &=n\bigl(d(2n-1)-d(n-1)\bigr) \\ &=n\cdot dn \\ &=dn^2. \end{aligned} $$

Так как $$d$$ — целое число, то $$D=dn^2$$ кратно $$n^2$$, то есть квадрату половины количества членов.

Ответ

Разность суммы второй половины и суммы первой половины равна $$dn^2$$, значит, она кратна $$n^2$$.