Упр.26.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 26.37. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, у которой среднее арифметическое n первых членов при любом n равно их количеству.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда сумма первых $$n$$ членов равна

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

По условию среднее арифметическое первых $$n$$ членов равно их количеству, то есть

$$\frac{S_n}{n}=n.$$

Следовательно,

$$S_n=n^2.$$

Подставим формулу суммы:

$$\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)=n^2.$$

При $$n\neq 0$$ получаем

$$2a_1+d(n-1)=2n.$$

Это равенство должно выполняться при любом $$n$$, значит, сравним коэффициенты при $$n$$ и свободные члены:

$$dn-d=2n-2a_1.$$

Тогда

$$d=2,$$

а из свободных членов

$$-d=-2a_1 \Rightarrow a_1=1.$$

Проверка:

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2\cdot 1+2(n-1)\bigr)=\frac{n}{2}\cdot 2n=n^2,$$

значит, условие выполняется.

Ответ

$$a_1=1,\quad d=2.$$