Упр.26.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$11+19+27+\ldots+(8n+3)=470$$, где $$n$$ — натуральное число;
   2) $$1+5+9+\ldots+x=630$$, где $$x$$ — натуральное число.

1. Рассмотрим сумму $$11+19+27+\dots+(8n+3)=470.$$ Это сумма арифметической прогрессии, где

   $$a_1=11,\quad d=19-11=8.$$

   По формуле суммы первых $$n$$ членов:

   $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

   Тогда

   $$470=\frac{2\cdot 11+8(n-1)}{2}\cdot n$$
   $$470=n(11+4(n-1))$$
   $$470=n(4n+7)$$
   $$4n^2+7n-470=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=7^2-4\cdot 4\cdot(-470)=49+7520=7569,$$
   $$\sqrt{D}=87.$$

   $$n=\frac{-7\pm 87}{8}.$$

   Подходит только натуральное значение:

   $$n=\frac{80}{8}=10.$$

2. Рассмотрим сумму $$1+5+9+\dots+x=630.$$ Это арифметическая прогрессия, где

   $$a_1=1,\quad d=5-1=4.$$

   Пусть в сумме $$n$$ членов. Тогда

   $$630=\frac{2\cdot 1+4(n-1)}{2}\cdot n$$
   $$630=n(1+2(n-1))$$
   $$630=n(2n-1)$$
   $$2n^2-n-630=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-630)=1+5040=5041,$$
   $$\sqrt{D}=71.$$

   $$n=\frac{1\pm 71}{4}.$$

   Подходит натуральное значение:

   $$n=\frac{72}{4}=18.$$

   Тогда последний член прогрессии:

   $$x=a_{18}=a_1+d(18-1)=1+4\cdot 17=69.$$

Ответ

1) $$10$$; 2) $$69$$.