Упр.26.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) 7+13+19+…+(6n+1)=480, где n — натуральное число;
2) 5+8+11+…+x=124, где x — натуральное число.

1. $$7+13+19+\dots+(6n+1)=480$$

   Это сумма арифметической прогрессии, где

   $$a_1=7,\quad d=13-7=6.$$

   Последний член:

   $$a_n=6n+1.$$

   По формуле суммы первых $n$ членов:

   $$ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n $$

   $$ 480=\frac{7+(6n+1)}{2}\cdot n $$

   $$ 480=\frac{6n+8}{2}\cdot n=(3n+4)n $$

   $$ 3n^2+4n-480=0 $$

   $$ D=4^2-4\cdot 3\cdot(-480)=16+5760=5776 $$

   $$ \sqrt{D}=76 $$

   $$ n=\frac{-4\pm 76}{2\cdot 3} $$

   $$ n_1=\frac{72}{6}=12,\quad n_2=\frac{-80}{6}<0 $$

   Так как $n$ — натуральное число, получаем $n=12$.

2. $$5+8+11+\dots+x=124$$

   Это арифметическая прогрессия, где

   $$a_1=5,\quad d=8-5=3.$$

   Пусть в сумме $n$ членов. Тогда

   $$ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n $$

   $$ 124=\frac{5+x}{2}\cdot n $$

   Но удобнее сначала найти $n$ из формулы суммы:

   $$ 124=\frac{2\cdot 5+3(n-1)}{2}\cdot n $$

   $$ 248=n(10+3n-3) $$

   $$ 248=n(3n+7) $$

   $$ 3n^2+7n-248=0 $$

   $$ D=7^2-4\cdot 3\cdot(-248)=49+2976=3025 $$

   $$ \sqrt{D}=55 $$

   $$ n=\frac{-7\pm 55}{2\cdot 3} $$

   $$ n_1=\frac{48}{6}=8,\quad n_2=\frac{-62}{6}<0 $$

   Значит, в сумме 8 членов, и последний член

   $$ x=a_8=a_1+(8-1)d=5+7\cdot 3=26 $$

Ответ

1) $$n=12$$; 2) $$x=26$$.