Упр.26.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$7+13+19+\ldots+(6n+1)=480$$, где $$n$$ — натуральное число; 2) $$5+8+11+\ldots+x=124$$, где $$x$$ — натуральное число.

1. $$7+13+19+\dots+(6n+1)=480$$

   Это сумма арифметической прогрессии, где

   $$a_1=7,\quad d=13-7=6.$$

   Последний член:

   $$a_n=6n+1.$$

   По формуле суммы первых $$n$$ членов:

   $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

   $$480=\frac{7+(6n+1)}{2}\cdot n$$

   $$480=\frac{6n+8}{2}\cdot n=(3n+4)n$$

   $$3n^2+4n-480=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-480)=16+5760=5776$$

   $$\sqrt{D}=76$$

   $$n=\frac{-4\pm 76}{2\cdot 3}$$

   $$n_1=\frac{72}{6}=12,\quad n_2=\frac{-80}{6}<0$$

   Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=12$$.

2. $$5+8+11+\dots+x=124$$

   Это арифметическая прогрессия, где

   $$a_1=5,\quad d=8-5=3.$$

   Пусть в сумме $$n$$ членов. Тогда

   $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

   $$124=\frac{5+x}{2}\cdot n$$

   Но удобнее сначала найти $$n$$ из формулы суммы:

   $$124=\frac{2\cdot 5+3(n-1)}{2}\cdot n$$

   $$248=n(10+3n-3)$$

   $$248=n(3n+7)$$

   $$3n^2+7n-248=0$$

   $$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-248)=49+2976=3025$$

   $$\sqrt{D}=55$$

   $$n=\frac{-7\pm 55}{2\cdot 3}$$

   $$n_1=\frac{48}{6}=8,\quad n_2=\frac{-62}{6}<0$$

   Значит, в сумме 8 членов, и последний член

   $$x=a_8=a_1+(8-1)d=5+7\cdot 3=26$$

Ответ

1) $$n=12$$; 2) $$x=26$$.