Упр.26.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 26.24. Какое наименьшее количество последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с числа 7, надо сложить, чтобы получить сумму, большую чем 315?

Последовательные нечётные натуральные числа, начиная с 7, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $$a_1=7$$ и разностью $$d=2$$.

Сумма первых $$n$$ членов этой прогрессии:

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

Требуется, чтобы

$$\frac{n}{2}\bigl(2\cdot 7+2(n-1)\bigr)>315.$$

Упростим:

$$\frac{n}{2}(14+2n-2)>315$$

$$\frac{n}{2}(2n+12)>315$$

$$n(n+6)>315$$

$$n^2+6n-315>0.$$

Найдём корни уравнения $$n^2+6n-315=0$$:

$$D=6^2+4\cdot 315=36+1260=1296,$$

$$\sqrt{D}=36.$$

Тогда

$$n=\frac{-6-36}{2}=-21,\qquad n=\frac{-6+36}{2}=15.$$

Так как парабола направлена вверх, неравенство $$n^2+6n-315>0$$ выполняется при $$n>15$$ или $$n<-21$$. Подходит только натуральное $$n$$, значит наименьшее значение:

$$n=16.$$

Ответ

16