Упр.26.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 26.12. (Старинная египетская задана.) Сто мер хлеба надо разделить между пятью людьми так. чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше, чем трое последних. Сколько надо дать каждому?

Пусть числа, которые получили пять человек, образуют арифметическую прогрессию:

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,$$

где $$a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4=d.$$

По условию сумма всех пяти чисел равна $$100$$:

$$S_5=100.$$

Тогда

$$S_5=\frac{a_1+a_5}{2}\cdot 5=\frac{2a_1+4d}{2}\cdot 5,$$

откуда

$$100=5(a_1+2d),$$

$$a_1+2d=20.$$

Также по условию двое первых получили в 7 раз меньше, чем трое последних:

$$7(a_1+a_2)=a_3+a_4+a_5.$$

Подставим члены арифметической прогрессии:

$$7(a_1+a_1+d)=(a_1+2d)+(a_1+3d)+(a_1+4d).$$

Получаем:

$$7(2a_1+d)=3a_1+9d,$$

$$14a_1+7d=3a_1+9d,$$

$$11a_1=2d.$$

Из системы

$$\begin{cases}a_1+2d=20,\\11a_1=2d,\end{cases}$$

найдём $$a_1$$ и $$d$$. Подставим $$2d=11a_1$$ в первое уравнение:

$$a_1+11a_1=20,$$

$$12a_1=20,$$

$$a_1=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$2d=11\cdot \frac{5}{3}=\frac{55}{3},$$

$$d=\frac{55}{6}=9\frac{1}{6}.$$

Теперь найдём все пять чисел:

$$a_2=a_1+d=\frac{5}{3}+\frac{55}{6}=\frac{65}{6}=10\frac{5}{6},$$

$$a_3=a_2+d=\frac{65}{6}+\frac{55}{6}=20,$$

$$a_4=a_3+d=20+\frac{55}{6}=29\frac{1}{6},$$

$$a_5=a_4+d=29\frac{1}{6}+9\frac{1}{6}=38\frac{1}{3}.$$

Ответ

$$1\frac{2}{3};\ 10\frac{5}{6};\ 20;\ 29\frac{1}{6};\ 38\frac{1}{3}.$$