Упр.25.48 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.48. Найдите наибольшее значение выражения x^2/(9+x^4).

Рассмотрим выражение

$$\frac{x^2}{9+x^4}.$$

Если $$x=0,$$ то

$$\frac{x^2}{9+x^4}=\frac{0^2}{9+0^4}=0.$$

При $$x\neq 0$$ применим неравенство Коши:

$$\frac{9+x^4}{2}\ge \sqrt{9x^4}=3x^2.$$

Тогда

$$9+x^4\ge 6x^2,$$

откуда

$$\frac{x^2}{9+x^4}\le \frac{x^2}{6x^2}=\frac16.$$

Равенство достигается при $$9=x^4,$$ то есть при $$x=\pm \sqrt{3}.$$

Ответ

$$\frac16$$