Упр.25.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.47. При каких значениях параметра a система уравнений {(ax+2y=3, 8x+ay=a+2) не имеет решений?

Система не имеет решений тогда и только тогда, когда прямые, задаваемые её уравнениями, параллельны и не совпадают.

Запишем уравнения в виде $$y=kx+b$$:

$$ax+2y=3 \;\Rightarrow\; y=-\frac{a}{2}x+\frac{3}{2},$$
$$8x+ay=a+2 \;\Rightarrow\; y=-\frac{8}{a}x+\frac{a+2}{a}.$$

Для параллельности прямых их угловые коэффициенты должны быть равны:

$$-\frac{a}{2}=-\frac{8}{a}.$$

Отсюда

$$\frac{a}{2}=\frac{8}{a}, \qquad a^2=16, \qquad a=\pm 4.$$

Проверим, когда прямые не совпадают. Для этого свободные члены должны быть различны:

$$\frac{3}{2}\ne \frac{a+2}{a}.$$

При $$a=4$$ получаем:

$$\frac{3}{2}=\frac{4+2}{4}=\frac{3}{2},$$

то есть прямые совпадают, решений бесконечно много.

При $$a=-4$$:

$$\frac{3}{2}\ne \frac{-4+2}{-4}=\frac{1}{2},$$

значит, прямые параллельны и не совпадают, поэтому система не имеет решений.

Ответ

$$a=-4$$