Упр.25.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.46. Существует ли нестационарная бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из простых чисел?

Предположим, что существует бесконечная арифметическая прогрессия, все члены которой — простые числа, и разность прогрессии не равна нулю.

Возьмём любое натуральное число $$N$$. Рассмотрим числа

$$N!+2,\; N!+3,\; \ldots,\; N!+N.$$

Каждое из них делится соответственно на $$2,3,\ldots,N$$, значит, все они составные.

Следовательно, среди любых $$N$$ подряд идущих натуральных чисел можно найти промежуток длины $$N-1$$, не содержащий простых чисел. Но в любой нестационарной арифметической прогрессии с постоянной ненулевой разностью можно выбрать достаточно большой отрезок, содержащий подряд идущие члены прогрессии, и тогда в ней неизбежно встретятся составные числа.

Значит, бесконечной нестационарной арифметической прогрессии, состоящей только из простых чисел, не существует.

Ответ

Нет.