Упр.25.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что арифметическая прогрессия \((a_n)\), где $$a_n=3n+2$$, содержит бесконечно много простых чисел.

Предположим, что простых чисел вида $$3n+2$$ конечное число. Обозначим их так:

$$p_1,\; p_2,\; p_3,\; \ldots,\; p_k.$$

Рассмотрим число

$$A=3(p_1p_2p_3\cdots p_k)+2.$$

При делении числа $$A$$ на любое из чисел $$p_1,p_2,\ldots,p_k$$ остаток равен $$2$$, значит, ни одно из них не делит $$A$$.

Кроме того, число $$A$$ имеет вид $$3n+2$$, поэтому оно не делится на $$3$$.

Следовательно, у числа $$A$$ есть простой делитель, который не входит в список $$p_1,p_2,\ldots,p_k$$. Этот простой делитель тоже имеет вид $$3n+2$$, так как простые числа, не равные $$3$$, при делении на $$3$$ дают остаток $$1$$ или $$2$$, а число $$A$$ само даёт остаток $$2$$.

Получаем противоречие с тем, что все простые числа вида $$3n+2$$ уже перечислены. Значит, таких простых чисел бесконечно много.

Ответ

Арифметическая прогрессия $$a_n=3n+2$$ содержит бесконечно много простых чисел.