Упр.25.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что в бесконечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, найдутся два члена, имеющие одинаковую сумму цифр.

Рассмотрим арифметическую прогрессию $$a_1, a_2, a_3, \dots$$, где все члены — натуральные числа, а разность прогрессии равна $$d.$$

Выберем два номера вида $$n-1=10^k$$ и $$m-1=10^p,$$ где $$p>k.$$ Тогда

$$a_n=a_1+d(n-1)=a_1+d\cdot 10^k,$$
$$a_m=a_1+d(m-1)=a_1+d\cdot 10^p.$$

Числа $$d\cdot 10^k$$ и $$d\cdot 10^p$$ оканчиваются на достаточно большое число нулей, поэтому при сложении с $$a_1$$ они не изменяют сумму цифр числа $$a_1$$. Следовательно, сумма цифр чисел $$a_n$$ и $$a_m$$ одинакова и равна сумме цифр числа $$a_1+d$$.

Значит, в бесконечной арифметической прогрессии найдутся два члена с одинаковой суммой цифр.

Ответ

В бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел обязательно найдутся два члена, имеющие одинаковую сумму цифр.