Упр.25.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.43. Числа a, b, a^2 являются членами бесконечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел. Известно, что a < b. Докажите, что число b^2 является членом этой прогрессии.

Пусть данная арифметическая прогрессия имеет первый член $$x_1=a$$ и разность $$d$$. Тогда для некоторых натуральных чисел $$m$$ и $$k$$

$$x_{1+m-1}=b,\qquad x_{1+k-1}=a^2.$$

Так как члены арифметической прогрессии выражаются формулой $$x_n=x_1+(n-1)d$$, получаем

$$b=a+md,$$

$$a^2=a+kd.$$

Из условия $$a<b$$ следует, что $$m>0$$, значит $$b-a=md>0$$.

Рассмотрим число $$b^2$$:

$$b^2=(a+md)^2=a^2+2amd+(md)^2.$$

Подставим вместо $$a^2$$ выражение $$a+kd$$:

$$b^2=a+kd+2amd+m^2d^2=a+d\bigl(k+2am+m^2d\bigr).$$

Так как $$k+2am+m^2d$$ — целое число, то $$b^2$$ также является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ

$$b^2$$ является членом этой арифметической прогрессии.