Упр.25.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.42. Известно, что бесконечная арифметическая прогрессия, членами которой являются натуральные числа, содержит квадрат натурального числа. Докажите, что эта прогрессия содержит бесконечно много членов, являющихся квадратами натуральных чисел. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_polyakov9 25-42 95

Пусть дана бесконечная арифметическая прогрессия с натуральными членами и разностью $$d.$$ По условию в ней есть квадрат натурального числа, то есть для некоторого $$k$$

$$a_k=m^2,$$

где $$m\in \mathbb{N}.$$

Тогда для любого натурального $$n$$

$$a_{k+n}=a_k+dn=m^2+dn.$$

Возьмём теперь $$n=2md+d^2.$$ Тогда

$$a_{k+2md+d^2}=m^2+d(2md+d^2)=m^2+2md^2+d^3.$$

Удобнее выбрать сдвиг так, чтобы получить полный квадрат. Для этого рассмотрим член прогрессии с номером

$$k+2m+d.$$

Тогда

$$a_{k+2m+d}=m^2+d(2m+d)=m^2+2md+d^2=(m+d)^2.$$

Значит, если в прогрессии есть квадрат $$m^2,$$ то в ней есть и следующий квадрат $$ (m+d)^2.$$

Повторяя это рассуждение, получаем бесконечную последовательность квадратов:

$$m^2,\ (m+d)^2,\ (m+2d)^2,\ (m+3d)^2,\ldots$$

Все эти числа являются членами данной арифметической прогрессии.

Ответ

В данной арифметической прогрессии содержится бесконечно много членов, являющихся квадратами натуральных чисел.