Упр.25.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Известно, что бесконечная арифметическая прогрессия, членами которой являются натуральные числа, содержит квадрат натурального числа. Докажите, что эта прогрессия содержит бесконечно много членов, являющихся квадратами натуральных чисел.

Пусть дана бесконечная арифметическая прогрессия с натуральными членами и разностью $$d.$$ По условию в ней есть квадрат натурального числа, то есть для некоторого $$k$$

$$a_k=m^2,$$

где $$m\in \mathbb{N}.$$

Тогда для любого натурального $$n$$

$$a_{k+n}=a_k+dn=m^2+dn.$$

Возьмём теперь $$n=2md+d^2.$$ Тогда

$$a_{k+2md+d^2}=m^2+d(2md+d^2)=m^2+2md^2+d^3.$$

Удобнее выбрать сдвиг так, чтобы получить полный квадрат. Для этого рассмотрим член прогрессии с номером

$$k+2m+d.$$

Тогда

$$a_{k+2m+d}=m^2+d(2m+d)=m^2+2md+d^2=(m+d)^2.$$

Значит, если в прогрессии есть квадрат $$m^2,$$ то в ней есть и следующий квадрат $$(m+d)^2.$$

Повторяя это рассуждение, получаем бесконечную последовательность квадратов:

$$m^2,\ (m+d)^2,\ (m+2d)^2,\ (m+3d)^2,\ldots$$

Все эти числа являются членами данной арифметической прогрессии.

Ответ

В данной арифметической прогрессии содержится бесконечно много членов, являющихся квадратами натуральных чисел.