Упр.25.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите все арифметические прогрессии с разностью $$10$$, состоящие из простых чисел и имеющие не менее трёх членов.

Пусть первый член прогрессии равен $$a_1=p,$$ тогда

$$a_2=p+10,\quad a_3=p+20.$$

Так как все члены прогрессии — простые числа, то при разности $$10$$ они не могут быть чётными, значит, должны быть нечётными простыми числами.

Рассмотрим остатки при делении на $$3$$:

$$a_1=p,$$

$$a_2=p+10,$$

$$a_3=p+20.$$

Числа $$p,\ p+10,\ p+20$$ дают все возможные остатки при делении на $$3$$, поэтому одно из них делится на $$3$$. Простое число, делящееся на $$3$$, может быть только равно $$3$$.

Значит, один из членов прогрессии равен $$3$$. Тогда:

$$a_1=3,\quad a_2=13,\quad a_3=23.$$

Проверим: все три числа простые, разность между соседними членами равна $$10$$.

Других вариантов нет.

Ответ

$$3,\ 13,\ 23.$$