Упр.25.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то значения выражений $$a^2+ab+b^2$$, $$a^2+ac+c^2$$, $$b^2+bc+c^2$$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Так как числа $$a, b, c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то

$$b=\frac{a+c}{2}.$$

Обозначим

$$x=a^2+ab+b^2,\quad y=a^2+ac+c^2,\quad z=b^2+bc+c^2.$$

Докажем, что $$y$$ — среднее арифметическое чисел $$x$$ и $$z$$:

$$2y=x+z.$$

Действительно,

$$x+z=(a^2+ab+b^2)+(b^2+bc+c^2)=a^2+2b^2+c^2+b(a+c).$$

Так как $$b=\frac{a+c}{2}$$, то

$$x+z=a^2+2\left(\frac{a+c}{2}\right)^2+c^2+(a+c)\cdot\frac{a+c}{2}.$$

Упростим:

$$x+z=a^2+c^2+\frac{(a+c)^2}{2}+\frac{(a+c)^2}{2} =a^2+2ac+c^2.$$

Следовательно,

$$x+z=2(a^2+ac+c^2)=2y.$$

Значит, $$y=\frac{x+z}{2}$$, то есть числа $$x, y, z$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ

$$a^2+ab+b^2,\ a^2+ac+c^2,\ b^2+bc+c^2$$ — последовательные члены арифметической прогрессии.