Упр.25.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.38. Докажите, что если значения выражений 1/(b+c), 1/(a+c) и 1/(a+b) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений a^2, b^2 и c^2 также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Пусть числа

$$\frac{1}{b+c},\ \frac{1}{a+c},\ \frac{1}{a+b}$$

образуют арифметическую прогрессию. Тогда средний член равен полусумме крайних:

$$\frac{1}{a+c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right).$$

Умножим на $$2(a+b)(a+c)(b+c)$$:

$$2(b+c)(a+b)= (a+c)(a+b)+(a+c)(b+c).$$

Удобнее записать условие АП в виде

$$\frac{2}{a+c}=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}.$$

Тогда

$$\frac{2}{a+c}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(b+c)-(a+c)}{(a+c)(b+c)}=\frac{(a+c)-(a+b)}{(a+b)(a+c)}.$$

После упрощения получаем

$$\frac{2b-a+c}{(a+c)(b+c)}=\frac{c-b}{(a+b)(a+c)}.$$

Из исходного равенства, после стандартных преобразований, получаем

$$\frac{b-a}{b+c}=\frac{c-b}{a+b}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$ (b-a)(a+b)=(c-b)(b+c). $$

Раскроем скобки:

$$b^2-a^2=c^2-b^2.$$

Перенесём слагаемые:

$$2b^2=a^2+c^2.$$

Следовательно, число $$b^2$$ является средним арифметическим чисел $$a^2$$ и $$c^2$$, то есть

$$a^2,\ b^2,\ c^2$$

образуют арифметическую прогрессию.

Ответ

$$a^2,\ b^2,\ c^2$$ — последовательные члены арифметической прогрессии.