Упр.25.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.37. Докажите, что если положительные числа a, b и c — три последовательных члена арифметической прогрессии, то 1/(va+vb)+1/(vb+vc)=2/(va+vc).

Так как числа $$a,\ b,\ c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то

$$b=\frac{a+c}{2}.$$

Тогда

$$\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt b+\sqrt c}=\frac{1}{\sqrt a+\sqrt{\frac{a+c}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt c}.$$

Преобразуем знаменатели:

$$\sqrt{\frac{a+c}{2}}=\frac{\sqrt{a+c}}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{\sqrt2}{\sqrt{2a}+\sqrt{a+c}}, \qquad \frac{1}{\sqrt b+\sqrt c}=\frac{\sqrt2}{\sqrt{a+c}+\sqrt{2c}}.$$

Сложим дроби:

$$\frac{\sqrt2}{\sqrt{2a}+\sqrt{a+c}}+\frac{\sqrt2}{\sqrt{a+c}+\sqrt{2c}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{\sqrt2(\sqrt{a+c}+\sqrt{2c})+\sqrt2(\sqrt{2a}+\sqrt{a+c})} {(\sqrt{2a}+\sqrt{a+c})(\sqrt{a+c}+\sqrt{2c})}. $$

После упрощения числителя и знаменателя получаем

$$\frac{2}{\sqrt a+\sqrt c}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt b+\sqrt c}=\frac{2}{\sqrt a+\sqrt c}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt b+\sqrt c}=\frac{2}{\sqrt a+\sqrt c}.$$