Упр.25.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Дана арифметическая прогрессия $$(a_n)$$, в которой $$a_k=m$$, $$a_m=k$$, $$m\ne k$$. Найдите $$a_{k+m}$$.

Пусть $$a_n$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d$$. Тогда

$$a_n=a_1+d(n-1).$$

По условию

$$a_k=m,\qquad a_m=k,\qquad m\ne k.$$

Запишем значение $$a_{k+m}$$ двумя способами:

$$a_{k+m}=a_k+dm=m+dm,$$

$$a_{k+m}=a_m+dk=k+dk.$$

Так как это одно и то же число, получаем

$$m+dm=k+dk.$$

Перенесём слагаемые:

$$m(1+d)=k(1+d).$$

Так как $$m\ne k$$, то

$$1+d=0,\qquad d=-1.$$

Тогда

$$a_{k+m}=m+d m=m-m=0.$$

Ответ

$$0$$