Упр.25.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$x$$ значения выражений $$3x+4$$, $$2x+3$$, $$x^2$$ и $$2x^2+x$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии:

$$a_1=3x+4,\quad a_2=2x+3,\quad a_3=x^2,\quad a_4=2x^2+x.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$2a_2=a_1+a_3,$$

$$2(2x+3)=(3x+4)+x^2.$$

Получаем:

$$4x+6=3x+4+x^2,$$

$$x^2-x-2=0,$$

$$(x-2)(x+1)=0.$$

Отсюда

$$x=2 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

Проверим второе условие для арифметической прогрессии:

$$2a_3=a_2+a_4,$$

$$2x^2=(2x+3)+(2x^2+x).$$

Тогда

$$2x^2=2x^2+3x+3,$$

$$3x=-3,$$

$$x=-1.$$

Значение $$x=2$$ не подходит, значит, $$x=-1$$.

Найдём члены прогрессии:

$$a_1=3\cdot(-1)+4=1,$$

$$a_2=2\cdot(-1)+3=1,$$

$$a_3=(-1)^2=1,$$

$$a_4=2\cdot(-1)^2+(-1)=1.$$

Ответ

$$x=-1,$$ члены арифметической прогрессии: $$1,\,1,\,1,\,1.$$