Упр.25.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.34. При каком значении y значения выражений y^2-2y, 3y+5, 4y+13 и 2y^2-y+25 являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть члены арифметической прогрессии равны

$$a_1=y^2-2y,\quad a_2=3y+5,\quad a_3=4y+13,\quad a_4=2y^2-y+25.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$2a_2=a_1+a_3,$$

то есть

$$2(3y+5)=(y^2-2y)+(4y+13).$$

Получаем:

$$6y+10=y^2+2y+13,$$

$$y^2-4y+3=0,$$

$$ (y-1)(y-3)=0,$$

откуда

$$y=1 \text{ или } y=3.$$

Проверим второе условие:

$$2a_3=a_2+a_4,$$

то есть

$$2(4y+13)=(3y+5)+(2y^2-y+25).$$

Тогда

$$8y+26=2y^2+2y+30,$$

$$2y^2-6y+4=0,$$

$$y^2-3y+2=0,$$

$$ (y-1)(y-2)=0,$$

откуда

$$y=1 \text{ или } y=2.$$

Общее значение, удовлетворяющее обоим условиям, —

$$y=1.$$

Найдём члены прогрессии:

$$a_1=1^2-2\cdot1=-1,$$

$$a_2=3\cdot1+5=8,$$

$$a_3=4\cdot1+13=17,$$

$$a_4=2\cdot1^2-1+25=26.$$

Ответ

$$y=1,$$ члены арифметической прогрессии: $$-1,\ 8,\ 17,\ 26.$$