Упр.25.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$x$$ значения выражений $$x^2-4$$, $$5x+3$$ и $$3x+2$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть

$$a_1=x^2-4,\quad a_2=5x+3,\quad a_3=3x+2.$$

Чтобы эти выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, средний член должен быть равен полусумме крайних:

$$2a_2=a_1+a_3.$$

Тогда

$$2(5x+3)=(x^2-4)+(3x+2),$$

$$10x+6=x^2+3x-2,$$

$$x^2-7x-8=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81,$$

$$x=\frac{7\pm 9}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-1,\quad x_2=8.$$

Найдём члены прогрессии.

При $$x=-1$$:

$$a_1=(-1)^2-4=-3,$$

$$a_2=5\cdot(-1)+3=-2,$$

$$a_3=3\cdot(-1)+2=-1.$$

При $$x=8$$:

$$a_1=8^2-4=60,$$

$$a_2=5\cdot 8+3=43,$$

$$a_3=3\cdot 8+2=26.$$

Ответ

$$x=-1,$$ члены арифметической прогрессии: $$-3,\,-2,\,-1.$$

$$x=8,$$ члены арифметической прогрессии: $$60,\,43,\,26.$$