Упр.25.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.31. Докажите, что числа, равные соответственно суммам углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т. д., образуют арифметическую прогрессию.

Сумма внутренних углов выпуклого $$n$$-угольника равна

$$a_n=(n-2)\cdot 180^\circ.$$

Рассмотрим три последовательных члена этой последовательности:

$$a_{n-1}=(n-3)\cdot 180^\circ,$$

$$a_n=(n-2)\cdot 180^\circ,$$

$$a_{n+1}=(n-1)\cdot 180^\circ.$$

Проверим признак арифметической прогрессии:

$$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}.$$

Подставим выражения:

$$2(n-2)\cdot 180^\circ=((n-3)+(n-1))\cdot 180^\circ.$$

Получаем:

$$2n-4=2n-4.$$

Равенство верно, значит, числа, равные суммам углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т. д., образуют арифметическую прогрессию.

Ответ

Да, эти числа образуют арифметическую прогрессию, так как $$a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$.