Упр.25.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Если из арифметической прогрессии, разность которой не равна нулю, исключить её члены, номера которых кратны 3, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Пусть дана арифметическая прогрессия с разностью $$d \ne 0$$:

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6,\dots$$

Исключим из неё члены с номерами, кратными $$3$$. Тогда получим последовательность

$$a_1,\ a_2,\ a_4,\ a_5,\ a_7,\ a_8,\dots$$

Проверим, будет ли она арифметической прогрессией. Для этого достаточно сравнить разности соседних членов:

$$a_2-a_1=d,$$

$$a_4-a_2=(a_1+3d)-(a_1+d)=2d,$$

то есть разности уже не совпадают. Значит, полученная последовательность не является арифметической прогрессией.

Можно также рассмотреть три подряд идущих оставшихся члена:

$$a_{3n-2},\ a_{3n-1},\ a_{3n+1}.$$

Если бы они образовывали арифметическую прогрессию, то выполнялось бы

$$2a_{3n-1}=a_{3n-2}+a_{3n+1}.$$

Но в арифметической прогрессии

$$a_{3n-1}=a_1+d(3n-2),$$

$$a_{3n-2}=a_1+d(3n-3),$$

$$a_{3n+1}=a_1+d(3n).$$

Подставим:

$$2(a_1+d(3n-2))=(a_1+d(3n-3))+(a_1+d(3n)),$$

$$2a_1+6dn-4d=2a_1+6dn-3d,$$

$$-4d=-3d,$$

$$d=0,$$

что противоречит условию.

Ответ

Нет.