Упр.25.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Даны две бесконечные арифметические прогрессии. Если из каждого члена одной прогрессии вычесть соответствующий член другой, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Пусть даны две арифметические прогрессии:

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots$$

$$b_1,\ b_2,\ b_3,\ \ldots,\ b_n,\ \ldots$$

Их разности постоянны:

$$a_n-a_{n-1}=d_a,\qquad b_n-b_{n-1}=d_b.$$

Рассмотрим последовательность разностей соответствующих членов:

$$c_1=a_1-b_1,\quad c_2=a_2-b_2,\quad \ldots,\quad c_n=a_n-b_n,\quad \ldots$$

Найдём разность соседних членов этой последовательности:

$$c_n-c_{n-1}=(a_n-b_n)-(a_{n-1}-b_{n-1})$$

$$=(a_n-a_{n-1})-(b_n-b_{n-1})=d_a-d_b.$$

Получили постоянную разность, значит, последовательность $$c_1,c_2,\ldots$$ является арифметической прогрессией.

Ответ

Да, будет арифметической прогрессией.