Упр.25.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Из арифметической прогрессии исключили члены с нечётными номерами. Образуют ли оставшиеся члены арифметическую прогрессию?

Пусть дана арифметическая прогрессия:

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots,\ a_n,\ a_{n+1},\ldots$$

После исключения членов с нечётными номерами остаются члены:

$$a_2,\ a_4,\ a_6,\ldots,\ a_{2n-2},\ a_{2n},\ a_{2n+2},\ldots$$

Проверим, образуют ли они арифметическую прогрессию. Для этого достаточно убедиться, что каждый средний член равен полусумме соседних:

$$a_{2n}=\frac{a_{2n-2}+a_{2n+2}}{2}.$$

Так как исходная последовательность — арифметическая, то

$$a_k=a_1+d(k-1).$$

Тогда

$$2a_{2n}=2(a_1+d(2n-1)),$$

а также

$$a_{2n-2}+a_{2n+2}=(a_1+d(2n-3))+(a_1+d(2n+1)).$$

Преобразуем:

$$2(a_1+d(2n-1))=(a_1+d(2n-3))+(a_1+d(2n+1)),$$

$$2a_1+4dn-2d=2a_1+4dn-2d.$$

Равенство верно, значит, оставшиеся члены действительно образуют арифметическую прогрессию.

Ответ

Да.