Упр.25.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Верно ли утверждение: если длины сторон выпуклого четырёхугольника, взятые в последовательности $$a, b, d, c$$ (рис. 26.2), образуют арифметическую прогрессию, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность?

Пусть стороны четырёхугольника образуют арифметическую прогрессию:

$$a,\; b,\; d,\; c.$$

Тогда можно записать:

$$b=a+d_1,\quad d=a+2d_1,\quad c=a+3d_1,$$

где $$d_1$$ — разность прогрессии.

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, должно выполняться условие:

$$a+c=b+d.$$

Подставим выражения для сторон:

$$a+(a+3d_1)=(a+d_1)+(a+2d_1).$$

Получаем:

$$2a+3d_1=2a+3d_1.$$

Равенство верно, значит, в такой четырёхугольник действительно можно вписать окружность.

Ответ

Верно.