Упр.25.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.23. Докажите, что для арифметической прогрессии (a_n) справедливо равенство a_n+a_k=a_(n-m)+a_(k+m), n > m.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, а $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_n=a_1+d(n-1), \qquad a_k=a_1+d(k-1),$$

$$a_{n-m}=a_1+d(n-m-1), \qquad a_{k+m}=a_1+d(k+m-1).$$

Найдём сумму левой части:

$$a_n+a_k=\bigl(a_1+d(n-1)\bigr)+\bigl(a_1+d(k-1)\bigr)=2a_1+d(n+k-2).$$

Найдём сумму правой части:

$$a_{n-m}+a_{k+m}=\bigl(a_1+d(n-m-1)\bigr)+\bigl(a_1+d(k+m-1)\bigr)=2a_1+d(n+k-2).$$

Следовательно,

$$a_n+a_k=a_{n-m}+a_{k+m}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$a_n+a_k=a_{n-m}+a_{k+m}.$$