Упр.25.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Дана конечная арифметическая прогрессия $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$. Докажите, что $$a_k+a_{n-k+1}=a_1+a_n$$, $$k?n$$.

Так как $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ — арифметическая прогрессия, то

$$a_k=a_1+d(k-1), \qquad a_{n-k+1}=a_1+d(n-k).$$

Тогда

$$a_k+a_{n-k+1} = \bigl(a_1+d(k-1)\bigr)+\bigl(a_1+d(n-k)\bigr) = 2a_1+d(n-1).$$

С другой стороны,

$$a_n=a_1+d(n-1),$$

значит

$$a_1+a_n=a_1+\bigl(a_1+d(n-1)\bigr)=2a_1+d(n-1).$$

Следовательно,

$$a_k+a_{n-k+1}=a_1+a_n.$$

Ответ

$$a_k+a_{n-k+1}=a_1+a_n.$$