Упр.25.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 25.22. Дана конечная арифметическая прогрессия a_1, a_2, …, a_n. Докажите, что a_k+a_(n-k+1)=a_1+a_n, k?n.

Так как $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ — арифметическая прогрессия, то

$$a_k=a_1+d(k-1), \qquad a_{n-k+1}=a_1+d(n-k).$$

Тогда

$$ a_k+a_{n-k+1} = \bigl(a_1+d(k-1)\bigr)+\bigl(a_1+d(n-k)\bigr) = 2a_1+d(n-1). $$

С другой стороны,

$$a_n=a_1+d(n-1),$$

значит

$$a_1+a_n=a_1+\bigl(a_1+d(n-1)\bigr)=2a_1+d(n-1).$$

Следовательно,

$$a_k+a_{n-k+1}=a_1+a_n.$$

Ответ

$$a_k+a_{n-k+1}=a_1+a_n.$$