Упр.25.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите $$a_1$$ и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если:
1) $$a_5+a_{12}=41$$ и $$a_{10}+a_{14}=62$$;
2) $$a_7+a_{13}=-104$$ и $$a_2\cdot a_6=-240$$.

Подробный ответ

Используем формулу общего члена арифметической прогрессии:
$$a_n=a_1+(n-1)d$$
Тогда
$$a_5=a_1+4d,\quad a_{12}=a_1+11d,\quad a_{10}=a_1+9d,\quad a_{14}=a_1+13d.$$
Составим систему:
$$\begin{cases} a_5+a_{12}=41,\\ a_{10}+a_{14}=62. \end{cases}$$
Подставим:
$$\begin{cases} (a_1+4d)+(a_1+11d)=41,\\ (a_1+9d)+(a_1+13d)=62. \end{cases}$$
Получаем:
$$\begin{cases} 2a_1+15d=41,\\ 2a_1+22d=62. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$7d=21,\quad d=3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2a_1+15\cdot 3=41,$$
$$2a_1= -4,\quad a_1=-2.$$
Теперь рассмотрим вторую систему.
$$a_7+a_{13}=-104,\quad a_2\cdot a_6=-240.$$
Запишем через $$a_1$$ и $$d$$:
$$\begin{cases} (a_1+6d)+(a_1+12d)=-104,\\ (a_1+d)(a_1+5d)=-240. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$2a_1+18d=-104,$$
$$a_1=-52-9d.$$
Подставим во второе уравнение:
$$(-52-9d+d)(-52-9d+5d)=-240,$$
$$(-52-8d)(-52-4d)=-240.$$
Раскроем скобки:
$$32d^2+624d+2704=-240,$$
$$32d^2+624d+2944=0.$$
Разделим на $$16$$:
$$2d^2+39d+184=0.$$
Найдём корни:
$$D=39^2-4\cdot 2\cdot 184=1521-1472=49.$$
$$d=\frac{-39\pm 7}{4}.$$
Отсюда:
$$d_1=-11{,}5,\quad d_2=-8.$$
Найдём $$a_1$$:
$$a_1=-52-9d.$$
Если $$d=-11{,}5$$, то
$$a_1=-52-9\cdot(-11{,}5)=51{,}5.$$
Если $$d=-8$$, то
$$a_1=-52-9\cdot(-8)=20.$$