Упр.25.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите $$a_1$$ и разность арифметической прогрессии $$\left(a_n\right)$$, если:

1. $$a_3+a_7=30$$ и $$a_6+a_{16}=60$$;
2. $$a_4+a_{10}=36$$ и $$a_5\cdot a_{11}=340$$.

1. Пусть $$a_n=a_1+(n-1)d$$ — арифметическая прогрессия.

   Тогда

   $$a_3=a_1+2d,\quad a_7=a_1+6d,\quad a_6=a_1+5d,\quad a_{16}=a_1+15d.$$

   Из условия получаем систему:

   $$\begin{cases} (a_1+2d)+(a_1+6d)=30,\\ (a_1+5d)+(a_1+15d)=60. \end{cases}$$

   Упростим:

   $$\begin{cases} 2a_1+8d=30,\\ 2a_1+20d=60. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$12d=30,\quad d=2{,}5.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2a_1+8\cdot 2{,}5=30,$$
   $$2a_1+20=30,$$
   $$2a_1=10,$$
   $$a_1=5.$$

2. Теперь рассмотрим второе условие.

   $$a_4=a_1+3d,\quad a_{10}=a_1+9d,\quad a_5=a_1+4d,\quad a_{11}=a_1+10d.$$

   Из равенства $$a_4+a_{10}=36$$ получаем:

   $$(a_1+3d)+(a_1+9d)=36,$$
   $$2a_1+12d=36,$$
   $$a_1=18-6d.$$

   Подставим это в условие $$a_5\cdot a_{11}=340$$:

   $$(a_1+4d)(a_1+10d)=340,$$
   $$(18-6d+4d)(18-6d+10d)=340,$$
   $$(18-2d)(18+4d)=340.$$

   Раскроем скобки:

   $$324+72d-36d-8d^2=340,$$
   $$8d^2-36d+16=0,$$
   $$2d^2-9d+4=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=9^2-4\cdot 2\cdot 4=81-32=49,$$
   $$d=\frac{9\pm 7}{4}.$$

   $$d_1=\frac{2}{4}=0{,}5,\quad d_2=\frac{16}{4}=4.$$

   Тогда

   $$a_1=18-6\cdot 0{,}5=15,$$
   $$a_1=18-6\cdot 4=-6.$$

Ответ

1) $$a_1=5,\ d=2{,}5.$$

2) $$a_1=15,\ d=0{,}5$$ или $$a_1=-6,\ d=4.$$