Упр.24.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Подберите одну из возможных формул $$n$$-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:
   1) $$1, 4, 9, 25, \ldots$$;
   4) $$0, 2, 0, 2, 0, \ldots$$;
   2) $$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$;
   5) $$0, 1, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{4}, \ldots$$;
   3) $$0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots$$;
   6) $$2, 0, \frac{2}{3}, 0, \frac{2}{5}, 0, \frac{2}{7}, 0, \ldots$$.

1. Последовательность $$1, 4, 9, 25, \ldots$$ состоит из квадратов натуральных чисел:

   $$1=1^2,\quad 4=2^2,\quad 9=3^2,\quad 25=5^2.$$

   Одной из возможных формул является

   $$a_n=n^2.$$

2. Последовательность $$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$3$$.

   Её общий член можно записать так:

   $$a_n=5+3(n-1)=3n+2.$$

3. Для последовательности $$0,\ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots$$ при $$n\ge 1$$ подходит формула

   $$a_n=\frac{n-1}{n}.$$

   Проверка: при $$n=1$$ получаем $$0$$, при $$n=2$$ — $$\frac12$$, при $$n=3$$ — $$\frac23$$.

4. Последовательность $$0, 2, 0, 2, 0, \ldots$$ чередуется. Подходит формула

   $$a_n=1+(-1)^n.$$

   Действительно, при нечётных $$n$$ получаем $$0$$, при чётных $$n$$ — $$2$$.

5. Для последовательности $$0,\ 1,\ 0,\ \frac12,\ 0,\ \frac13,\ 0,\ \frac14,\ldots$$ можно взять

   $$a_n=\frac{1+(-1)^n}{n}.$$

   При нечётных $$n$$ числитель равен $$0$$, при чётных $$n$$ — $$2$$, поэтому получаются нужные члены.

6. Для последовательности $$2,\ 0,\ \frac23,\ 0,\ \frac25,\ 0,\ \frac27,\ 0,\ldots$$ подходит формула

   $$a_n=\frac{1+(-1)^{n+1}}{n}.$$

   При нечётных $$n$$ получаем $$\frac{2}{n}$$, а при чётных $$n$$ — $$0$$.

Ответ

1) $$a_n=n^2$$;
2) $$a_n=3n+2$$;
3) $$a_n=\frac{n-1}{n}$$;
4) $$a_n=1+(-1)^n$$;
5) $$a_n=\frac{1+(-1)^n}{n}$$;
6) $$a_n=\frac{1+(-1)^{n+1}}{n}$$.