Упр.24.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 24.27. Решите неравенство (x^2-9)v(x^2-6x+5)?0.

Рассмотрим неравенство

$$\left(x^2-9\right)\sqrt{x^2-6x+5}\ge 0.$$

Так как $$\sqrt{x^2-6x+5}\ge 0$$ при всех допустимых значениях $$x$$, то произведение неотрицательно, когда:

• либо $$x^2-9\ge 0,$$
• либо $$\sqrt{x^2-6x+5}=0.$$

1) Решим неравенство

$$x^2-9\ge 0,$$

$$\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

2) Найдём область определения корня:

$$x^2-6x+5\ge 0,$$

$$\left(x-1\right)\left(x-5\right)\ge 0,$$

откуда

$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$

Теперь учтём, что при $$\sqrt{x^2-6x+5}=0$$ имеем

$$x^2-6x+5=0,$$

$$\left(x-1\right)\left(x-5\right)=0,$$

значит, $$x=1$$ или $$x=5.$$

Объединяем все подходящие значения с учётом области определения:

$$x\in(-\infty;-3]\cup\{1\}\cup[5;+\infty).$$

Ответ

$$x\in(-\infty;-3]\cup\{1\}\cup[5;+\infty).$$