Упр.24.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 24.25. Для последовательности (x_n) справедлива такая рекуррентная формула: x_(n+1)=(x_n)^2-2x_n+2. Найдите все значения х_1, при которых выполняется равенство x_1=x_1000.

Введём новую последовательность $$y_n=x_n-1.$$ Тогда

$$ x_{n+1}=x_n^2-2x_n+2 $$
$$ x_{n+1}-1=x_n^2-2x_n+1=(x_n-1)^2 $$
$$ y_{n+1}=y_n^2. $$

Значит, каждый следующий член равен квадрату предыдущего. Тогда

$$ y_2=y_1^2,\quad y_3=y_2^2=y_1^4,\quad \ldots,\quad y_{1000}=y_1^{2^{999}}. $$

По условию $$x_1=x_{1000}$$, значит и

$$ y_1=y_{1000}. $$

Получаем уравнение

$$ y_1=y_1^{2^{999}}. $$

Рассмотрим возможные значения:

$$ y_1=0 \quad \text{или} \quad y_1^{2^{999}-1}=1. $$

Так как степень $$2^{999}-1$$ нечётная, то из второго равенства следует

$$ y_1=1. $$

Итак,

$$ y_1=0 \quad \text{или} \quad y_1=1. $$

Возвращаясь к $$x_1$$, получаем:

$$ x_1=y_1+1. $$

Если $$y_1=0$$, то $$x_1=1$$; если $$y_1=1$$, то $$x_1=2$$.

Ответ

$$1;\ 2$$