Упр.24.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Для последовательности $$(x_n)$$ справедлива такая рекуррентная формула: $$x_{n+1}=x_n^2-2x_n+2$$. Найдите все значения $$x_1$$, при которых выполняется равенство $$x_1=x_{1000}$$.

Введём новую последовательность $$y_n=x_n-1.$$ Тогда

$$x_{n+1}=x_n^2-2x_n+2$$
$$x_{n+1}-1=x_n^2-2x_n+1=(x_n-1)^2$$
$$y_{n+1}=y_n^2.$$

Значит, каждый следующий член равен квадрату предыдущего. Тогда

$$y_2=y_1^2,\quad y_3=y_2^2=y_1^4,\quad \ldots,\quad y_{1000}=y_1^{2^{999}}.$$

По условию $$x_1=x_{1000}$$, значит и

$$y_1=y_{1000}.$$

Получаем уравнение

$$y_1=y_1^{2^{999}}.$$

Рассмотрим возможные значения:

$$y_1=0 \quad \text{или} \quad y_1^{2^{999}-1}=1.$$

Так как степень $$2^{999}-1$$ нечётная, то из второго равенства следует

$$y_1=1.$$

Итак,

$$y_1=0 \quad \text{или} \quad y_1=1.$$

Возвращаясь к $$x_1$$, получаем:

$$x_1=y_1+1.$$

Если $$y_1=0$$, то $$x_1=1$$; если $$y_1=1$$, то $$x_1=2$$.

Ответ

$$1;\ 2$$